為什麼會講到St. Petersburg Paradox呢?起因於我在看2003年波克夏股東會notes時有個問題問到成長股如何估價,巴菲特回答說一公司如果成長率大於折現率,理論上它的價值是無限大。這叫做St. Petersburg Paradox, Durand先生在30年前有為此寫一篇論文。如果認為一家公司能夠持續維持高成長率到永久以至於其估價是無限大那是一件非常危險的事情。對一家公司估計其有高成長率且能維持很長一段時間讓投資人花了很多很多的冤枉錢。看看50年前的前幾大企業,有幾個能夠每年成長10%到現在? 更不要說成長15%以上的企業了。查理和我很少狀況下願意為企業估計高成長率,也許有時候我們錯了,但我們喜歡保守些。

這裡簡單探討巴菲特在股東大會提到的那篇論文 : Growth Stocks and the Petersburg Paradox by David Durand

在現今(1957年)投資人追逐資本利得的當下,探討成長股的估值顯得正是時候,如果其他條件都相當,一個投資人選擇投資有成長潛力的公司是毫無疑問的。但其他因素很少都一樣,尤其在現今(1957)追逐成長股的時代。若一家公司的成長眾所周知,那他的價格通常會被抬得很高。一個謹慎的投資人應該要去想市場是否適當price此公司的成長潛力? 或者付出太高的價錢了?

通常對成長股的估價有兩個層面,第一是估計其營收、盈餘和股息。很長一段時間被認為這些數字應該要以一個相同的discount rate去折現。然而越來越多的疑問開始出來。John Burr Williams在他的書 The Theory of Investment Value中提到建議使用不同的折現率折現去估價。最近Clendenin和Van Cleave秀出使用同一折現率會出現的一個荒謬狀況或者說是矛盾狀況 - 那就是估價會變成無限大。他們得出此矛盾結論後說: "我們從來沒有看過任何一家成長公司的估價是無窮大,讓我們等著看"。一般的投資人可能會使用更高的discount rate避掉這個問題,然Clendenin的論文帶出了一個相關性,那就是股息折現公式IRR在對成長股估價時會遇到和困擾了數學家200多年的St. Petersburg Paradox相似的問題。

St. Petersburg Paradox的介紹就不重提,其亦提到了Bernoulli提供的marginal utility of money is inversely propotional to the amount held之解法,這裡提到的第二個解法出自Whitworth先生,Whitworth嘗試以不用utility的方式去解決這個矛盾,他以gambler's ruin去approach這個問題,也就是說如果參與者只有有限的資源的情況下,她不會想冒著資源全部毀滅的風險去參加St. Petersburg遊戲。Whitworth提到一個賭徒會risk其資源的某個固定比例而非固定數量去參與他認為有利可圖的賭注。然而這其實也逃脫不了當初白努力的utility解法,因為對於一個資源有10元的賭徒他願意花1元玩此遊戲因為1元的utility和一位只有一元的賭徒其每1角的utility是相同的。

但是Whitworth approach這個問題的方式,無論他是否是在utility的這個假設下,他都為投資帶來了新的思考,那就是分散的重要性,如果要參加一個風險很大的venture如賭骰子或者買有風險的證券,不僅僅要去評估其期望值,風險承受者投資多少比例的資金在個別標的也非常˙重要。就如一般的賭徒會要求如果要他加碼超過其資產一個比例的賭金那肯定預期報酬率或者贏的機率要更高成為一風險貼水,這道理同樣適用於一基金經理人分配資金時。

評論: 巴菲特在2002、2003年時提到他在當時垃圾債跌到一個非常非常低價的時候(40-50% discount from par value),進場買入大量的垃圾債,對於這些垃圾債,他很確定這些公司的財務報表健全,並且對於部分公司的經理人素質他沒有信心,所以他對這項投資非常的分散,分散在不同公司,不同產業,我認為這行為就完完全全體現出分散的重要性,對於期望值是正的投資group其每個證券的風險相對高時,分散是一件很合理也很必要的事情,其道理同樣適用於低於清算價的投資標的組合,這是為什麼walter schloss股票多到會有100多家公司。然對於接近risk free的投資標的且期望值亦夠吸引人的標的值得重壓,這體現在巴菲特早期參與的無風險套利案和可口可樂、Gillette等單一個股的投資,這方面我認為巴菲特的approach不是它們的成長性,巴菲特知道他們有成長性,而且這個成長可能會持續很久很久,coke很明顯就會如此,然他的approach應是從competitive advantage也就是產業護城河的角度,就像他在2003年股東會提到的,他寧願在估值時不去計算這些成長性,因為保守使然,而這些公司的競爭優勢是否50年都不會變以至於其成長能夠持續下去? 以及管理層是否誠實可靠有能力,能不過度資本支出但在機會來臨時將資金分配到預期報酬率相對高的項目? 管理層有此能力當然是最好。如果是,provided其50年後仍能有此RoE的情況下,現在市場還給予ridiculous的訂價,其中如果對每項因素皆保守評估的狀況下其估價仍大幅低於計算出之內在價值,那這類投資標的便是巴菲特重壓的標的。若是如此,這估算期間已然加入很大的安全邊際且確保此投資案很有把握買在遠低於內在價。所以巴菲特對投資人說,就假如你一輩子只能打20個洞,當如可口可樂和吉列這類機會出現時,你就打洞,然後投資,只投資自己懂的產業,這投資法也一定要只鎖定自己懂且有把握到風險接近零的標的。然真的有風險零的投資標的嗎? 如果只鎖定在自己真正確定的幾個機會,而那些機會一生大概只有20次的話,我相信一個人能找到且確定那20次零風險的投資機會。 我想去問任何專家不會有人否認1988年的coke是個超級大bargain, 但既然如此,為何當時還有如此低廉價格在市場? 因為市場是沒有效率的。這裡有個陷阱在於,如近期在台灣的套利案,如果一味去追逐看似零風險的套利機會,在市場對套利交易極有效率的現在(2016)就至少會踩到華亞科和樂陞這兩顆地雷。所謂的極低風險和無風險的差異性在哪? 這是值得思考的問題。我無法完全確定。對一個謹慎的人而言在套利微利時代樂陞這類標的是根本不能碰,尤其是在每個人都爭相參與報酬還越拉越大時,但是如果面對的是一項評估無風險的套利案,如何能確定它真的是無風險? 如果忽略了low probability而對看似無風險的投資機會重壓,甚至leverage,那可能會付出極大的代價。可以確定的是,當你評估一個投資標的是無風險的時候,要再重新去檢視到底哪裡有沒有問題,以及任何時候都不應該開槓桿,只有看似極低風險的投資標的會讓一個謹慎開槓桿的人傾家蕩產。因為謹慎的人不會對風險很大的案子開槓桿,需時常去思考low probability並非常非常保守的面對槓桿這件事情。

這些不同對於St. Petersburg Paradox的approach,無論從utility, limit of the game或者gambler's ruin去解釋,雖然都沒辦法完善解釋此矛盾,但其從不同角度切入他們都適當的解釋了為何現實生活的Paul不會付很高的價格參與次無限大的期望值遊戲。經濟學大師凱因斯也對此給了幾個評論: 他說我們不想變成遊戲中的Paul(參與者),因為我們不相信Peter在我們擲出連續40次正面時會有1.1兆給我們,如果我們贏了,也不知道要怎麼花這些錢,也因為如果要贏得這無窮多的獎金首先你要先準備無窮多的資產下注take risk才有機會,而得到無窮大獎金的機會是無窮盡的不可能(1/無窮大)。

St. Petersburg Paradox 對成長股估價的啟示

假如我們現在有個情境,Peter成立一家在成長產業的公司並賣股票給Paul,後者將不會付出理論上的股息折現價格給予前者,因為這個數字是無限大,原因在於1. Paul不認為這個成長會永遠持續下去。2. 對於Paul來說這個無限大的value對他的utility小於理論值。

以J. B. Williams提到的假設去假定Peter公司最終會付股息且每年以g的rate成長, g大於discount rate。而現今天文物理學家發現世界的盡頭大概在10,000,000,000年,你會認為這家Peter公司如果能夠永遠成長,能成長到這個數值嗎? 當然不可能,所以用折現估價對成長率高於discount rate的公司估出無限大的數字make nonsense且勢必要得到修正。William本人亦認為無限長時間增加一公司分發的股息只是個假設性議題。他自己設計了一項公式,讓一公司早期指數化成長,到之後趨於平坦,這家公司在折現公司估計的現值也是有限的,就算那前期指數成長率遠超過折現率,其折現值亦是有限的。Clendenin和Van Cleave則提到,只有在長時間的通貨膨脹下才會有持續性的快速成長產生。

一家公司的股息成長率若能超過discount rate,那它的RoE也必定是持續高於discount rate。但這個情況顯示了一個很不正常的現象,至少對於平衡的理論學家來說,一企業的資本報酬率在長期一定會接近市場平均報酬(文章中提到是市場利率,我認為以市場平均報酬或同產業報酬來代替更恰當)。這樣Peter公司要如何能夠持續擁有超額的成長率? 這論點引出了一項結論那就是成長股在其特定產業中的成長一定是有限的,雖然這個時間不一定很短但一定是有限的而非無限的,故我們無法對成長股得出其價值無限的結論。所以對於成長股的估價者來說他們只需要去估計成長股超過市場平均的成長會持續多久? 像是Williams發展出來的成長曲線那樣。

評論: 如See's Candies其能夠持續好幾十年的成長,但前提是他每年都將所有的盈餘分派出來,如果See's Candies當初保留所有盈餘像波克夏一樣都不配發股利,其成長率一定不會如現在我們所看到的那樣fantastic。我認為有機會長期保持long term growth的公司只有如Outsiders CEO經營的公司,這類公司的CEO會將其旗下報酬率高於市場平均的企業所賺取的現金分配到其他估值便宜的標的或甚至在其公司股價低估時買入庫藏股,然公司股價高估時發行股票再將其投入在市場吸引人的標的持續成長。這看似簡單的事情做起來一點也不容易,因為很少有董事會會允許董事長如此做,除非是個concnetrated controlled的公司。這類Outsiders CEO的公司最終都不免走到多角化一途,可能是同產業的多角化或者如BRK的不同產業多角化,這不代表多角化是好事,多角化只有在經理人是Outsiders CEO時才是好事,然要如何識別出Outsiders CEO則是另一課題。縱使如波克夏此Outsiders CEO經營的公司在51年後的今年,其大幅度超越市場平均的成長率也漸漸的收斂了... 然巴菲特已然是個傳奇,也證明了成長非infinite,對於一人類的傳奇亦是如此。

白努力以utility解決矛盾的方式告訴我們對於成長的股利其折現值之utility並不會與其數值相同,因為在遙遠未來高額股利的貨幣價值對於一個人的utiltiy appraisal一定沒有其原來價值的高。此外,Whitworth的分散approach則告訴我們謹慎的Paul不會下重注在Peter公司,縱使其有無限大的理論估值,因為這讓Paul冒著ruinous loss的風險。所以對於Paul來說他對成長股只會投資少部分他的資產對他來說才make sense. 如果要讓Paul對這理論上永遠成長的公司給予無窮大的價格,那前提是Paul必須要有無窮大的資產。

對於一般的股息折現公式而言,對成長股的估價讓我們看出其並非完全的reliable. 也許他對於high grade short term bond給予了很適合的估價,但如果以折現公式去估價成長股將可能很危險,因為成長股在成長很長的時間後估值是非常非常大。同樣地他們也顯示出對於成長股估值的難度很高。St. Petersburg Paradox告訴我們的一項事實就是成長股的估計很困難也很難有每個人都滿意的答案。

評論: 早期我在上洪瑞泰的巴菲特班時其遇到一個問題*,就是為什麼對於如美股YUM, CLX, CL這類公司在當初動輒100以上的ROE使用股息折現公式計算預期報酬率時會特別的高? 這其實就是St. Petersburg Paradox帶來的結果,其實Mike的股息折現公式本身就對這問題做了一道防堵牆,那就是n = 8,只計算到第8年然後以PE12倍賣價計算其內在價值。這樣可以避免掉一拖拉庫過去RoE高於15%的公司如果以15%折現去算便宜價報酬率會無限大的矛盾結果。然對於美股動輒100%RoE以上的公司,如果我們如此代入亦會產生大的不合理的預期報酬率,如果YUM能持續8年都100%以上RoE,那驚人的估值可能也不算什麼,只是能持續8年嗎? 那就是個問題了。Mike最後是以12倍EPS對這些過去超高RoE公司去算便宜價,也算是為這個折現公式的問題找到一個出口。然這也顯示了股息折現公式在估計成長股有瑕疵的事實,我們如何能確定這遠超過市場平均的RoE能持續維持8年呢? 或者,他的高於平均成長能持續多久? 這是個問號也是各個成長股投資者要去解決的課題。

*http://mikeon88.blogspot.tw/2012/03/irrepsx12.html

 

 

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